Lemniskate (Lösung) von Dr. Roland Mildner, Leipzig (Wurzel 3+4/1999, S.64-66) Wenn die Abstände des variablen Punktes P(x, y) von G1 und G2 sind, so muss gelten: ; damit gilt also: Ausmultiplizieren von (1) ergibt x4 + y4 + 2x2y2 - x2 + y2 = 0 bzw. Durch Übergang zu Polarkoordinatengeht (2) über in Hieraus folgen r = 0 (damit x = y = 0) oder die Polarkoordinatendarstellung der gesuchten Ortskurve k von P: Die gesuchte Ortskurve k von P hat demnach die Parameterdarstellung und ist eine spezielle Cassinische Kurve, nämlich eine Lemniskate (s. Skizze). a) Der Flächeninhalt des von k eingeschlossenen Gebietes ist A = 2A1, wobei A1 die von einer Schleife eingeschlossene Fläche ist. Es gilt also mit (3) und für den gesuchten Flächeninhalt A: b) Bei der Inversion am Einheitskreis (Transformation durch reziproke Radien: ) lautet dann die Parameterdarstellung von k': Wegen ist also das Bild k' von k bei der Inversion die gleichseitige Hyperbel (in x,y-Koordinaten geschrieben): Wir ermitteln nun die Gleichungen der zur x-Achse parallelen Tangenten an die Lemniskate (3) bzw. (4): Aus folgt Hieraus erhält man die Extrempunkte der Lemniskate: Also lauten die Gleichungen der beiden zur x-Achse parallelen Tangenten: Nun wird die Inversion am Einheitskreis auch durch die komplexe Abbildung beschrieben. Mit geht (6) über in: Mit nimmt (7) die Form an. Also gehen die Tangenten (6) bei der Inversion am Einheitskreis über in die Kreise (wieder in x,y-Koordinaten geschrieben): Das sind die Kreise um Aufgabe / Menue / Home