von Wolfgang Hill, Bayreuth (Wurzel 3+4/2004, S. 77/78)
1. Geometrischer Lösungsweg Vorbemerkungen: - Da B und D sowie E und F symmetrisch zur Geraden AC liegen, muss der Schnittpunkt H von
BF und DE auf AC liegen. Nach dem Strahlensatz (Figur AEHDC, AE || CD) gilt
- Ist P der Schnittpunkt von CD und BF, so gilt nach dem Strahlensatz (Figur BCFDP,
BC || FD)
und wiederum mit dem Strahlensatz (Figur EBGPC, EB || CP) folgt
Da E der Mittelpunkt von AB ist, gilt
Nach (1) gilt für die Dreiecke AEC und HEC (Grundlinie AC = HC, gleiche Höhe)
Nach (2) gilt für die Dreiecke ECH und EGH (Grundlinie EG = EC, gleiche Höhe)
2. Algebraischer Lösungsweg
Man legt das Quadrat so in ein Koordinatensystem, dass A = (0, 0), B = (a, 0), C = (a, a), D = (0, a).
Dann ist offensichtlich E = (a/2, 0) und F = (0, a/2). Nun ermittelt man leicht die
Geradengleichungen
und bestimmt durch Gleichsetzen den Schnittpunkt von EC und FB als G = (0,6a; 0,2a) sowie
den Schnittpunkt von DE und FB als H = (a/3, a/3). Damit sind die Koordinaten der Ecken des
Dreiecks bekannt; seinen Flächeninhalt bestimmt man z. B. über
