Eine Ungleichung (Lösung) von Dr. Roland Mildner, Leipzig (Wurzel 5/2004, S.100/101) Da die Folge bekanntermaßen streng monoton wachsend gegen e strebt, gilt offensichtlich bzw. dazu äquivalent Wir zeigen nun mittels vollständiger Induktion die Gültigkeit der Ungleichung Für n = 1, 2, 3, 4, 5 gilt 2nn! > nn, aber für n = 6 gilt 266! < 66, womit der Induktionsanfang gezeigt ist. Gelte nun (2) für n ≥ 6 (Induktionsvoraussetzung). Multiplizieren wir diese Ungleichung mit 2(n + 1) und wenden wir (1) an, so erhalten wir mit die Gültigkeit von (2). Zu (2) äquivalent sind die Ungleichungen bzw. Die zu beweisende Ungleichung gilt offenbar, wie man nachrechnen kann, sogar für n = 1, 2, 3, 4, 5. Wir zeigen nun mittels vollständiger Induktion, dass sie auch für alle gilt: Die Gültigkeit für n = 6 (Induktionsanfang) kann man ebenfalls nachrechnen. Gelte nun (4) für n ≥ 6 (Induktionsvoraussetzung). Dann erhalten wir unter Anwendung von (3): womit der Beweis erbracht ist. Aufgabe / Menue / Home