von Dr. R. Mildner (Auswertung der Leser-Lösungen s. SDW 2/2005, S. 109)
Bezeichnen a, b und c die Stückanzahl der Kuchensorten A (je Stück 0,80 €),
B (je Stück 1 €) und C (je Stück 1,10 €), welche die Verkäuferin
dem Jungen einpacken muss, so gilt, da der Gesamtpreis genau 15 Euro betragen soll, die
Gleichung 0,80 a + 1,00 b + 1,10 c = 15 bzw. nach Multiplikation der Gleichung mit
dem Faktor 10:
(1)
Dabei müssen a, b und c nichtnegative ganze Zahlen sein, wobei 0 ≤ 8a ≤ 150, 0 ≤ 10b ≤ 150 und 0 ≤ 11c ≤ 150 gelten muss bzw. genauer, da die Verkäuferin dem Jungen mindestens 1 Stück von jeder Kuchensorte einpacken soll,
(2)
Durch einfache Umformung geht nun die Gleichung (1), die man wegen ihrer ganzzahligen Konstanten und der gesuchten ganzzahligen Lösungen auch eine „diophantische Gleichung" nennt, über in
(3)
1. Für c = 2 geht (3) über in 4a + 5b = 64 bzw. a = (64 - 5b) / 4 (*).
Damit a ganzzahlig wird, muss b durch 4 teilbar sein.
Wegen (2) kommen also nur die Werte b = 4, b = 8 und b = 12 in Frage.
Nach (*) ergeben sich die zugehörigen a-Werte a = 11, a = 6 und a = 1. Wir erhalten
also in diesem Falle die drei Lösungstripel (a, b, c):
(11, 4, 2), (6, 8, 2) und ( (1, 12, 2).
Analog zu 1. schließt man für die anderen c-Werte:
2. Für c = 4 ergeben sich ebenfalls drei Lösungstripel, nämlich
(12, 1, 4), (7, 5, 4) und (2, 9, 4).
3. Für c = 6 ergeben sich die folgenden beiden Lösungstripel:
(8, 2, 6) und (3, 6, 6).
4. Für c = 8 ergibt sich nur das eine Lösungstripel, nämlich
(4, 3, 8).
5. Für c = 10 erhalten wir kein Lösungstripel mit den geforderten Eigenschaften.
6. Für c = 12 ergibt sich wieder nur ein Lösungstripel, nämlich
(1, 1, 12).
Insgesamt ergeben sich also die folgenden 10 Zahlen-Tripel (a, b, c), nämlich
(4)
Die Probe bestätigt, dass diese 10 Zahlen-Tripel (a, b,c) in (4) in der Tat Lösungen und damit alle Lösungen von (1) unter der Nebenbedingung (2) sind. Die Verkäuferin hat also genau diese 10 Möglichkeiten (4), den Wunsch von Patrick zu erfüllen. Sie kann ihm also einpacken:
11 Stück Kuchen A, 4 Stück Kuchen B und 2 Stück Kuchen C
oder 6 Stück Kuchen A, 8 Stück Kuchen B und 2 Stück Kuchen C
oder 1 Stück Kuchen A,12 Stück Kuchen B und 2 Stück Kuchen C
oder 12 Stück Kuchen A, 1 Stück Kuchen B und 4 Stück Kuchen C
oder 7 Stück Kuchen A, 5 Stück Kuchen B und 4 Stück Kuchen C
oder 2 Stück Kuchen A, 9 Stück Kuchen B und 4 Stück Kuchen C
oder 8 Stück Kuchen A, 2 Stück Kuchen B und 6 Stück Kuchen C
oder 3 Stück Kuchen A, 6 Stück Kuchen B und 6 Stück Kuchen C
oder 4 Stück Kuchen A, 3 Stück Kuchen B und 8 Stück Kuchen C
oder 1 Stück Kuchen A, 1 Stück Kuchen B und 12 Stück Kuchen C.
In jedem dieser 10 Fälle beträgt der Gesamtpreis genau 15 Euro, und Patrick erhält von jeder der drei Kuchensorten mindestens ein Stück.