Quadrat und Kreise (Lösung)
von Dr. R. Mildner (alpha 4/1984, S. 95)

Wir bezeichnen den Mittelkreis der Figur mit K1, einen jeden der vier (offenbar untereinander kongruenten) Eckkreise des Quadrats mit K2 und einen jeden der vier (offenbar untereinander kongruenten) Eckkreise des einbeschriebenen Quadrats mit K3 . Bezeichnen wir die Radien der drei Kreise entsprechend mit r1 , r2 bzw. r3 und ihre Flächeninhalte mit A1 , A2 bzw. A3 , so gilt für die gesuchte Summe A der Flächeninhalte aller im Quadrat ABCD (Seitenlänge a) liegenden Kreise
A = A1 + 4A2 + 4A3 , und wegen Ai = π · ri2 ( i = 1, 2, 3 ) gilt

    (1)

a) Wir berechnen den Radius r1 von K1: Im Dreieck EFB gilt wegen nach dem Satz des Pythagoras Offenbar gilt und damit

            (2)

b) Wir berechnen den Radius r2 von K2: Offenbar gilt nach dem Strahlensatz Wegen ergibt sich

              (3)

Andererseits gilt , woraus folgt:

              (4)

Durch Gleichsetzen von (3) und (4) erhält man

       (5)

c) Wir berechnen den Radius r3 von K3 ebenso wie bei b): Wir schließen der Reihe nach auf:

und schließlich ergibt sich:

        (6)

d) Setzt man (2), (5) und (6) in (1) ein, so ergibt sich der gesuchte Flächeninhalt:

Aufgabe / Menue /Home