Lösungen zu "Teilbarkeitsbeweis"

Teilbarkeitsbeweis (1. Lösung: Autoren-Lösung)
von Dr. R. Mildner, Leipzig (WIFO 7/1983, S. 282)
Wir führen den Beweis mit Hilfe der vollständigen Induktion:

1. Die Behauptung gilt offenbar für n = 0:

2. Angenommen, die Behauptung gilt für irgend ein n = k:
Dann ist
Aus der Teilbarkeit für n = k folgt also die Teilbarkeit für n = k + 1. Wegen 1. gilt dann die Behauptung für alle natürlichen Zahlen n.
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Teilbarkeitsbeweis (Lösung 2)
von Frank Meinel, Ilmenau (WIFO 8/1983, S. 321)
Es ist
und
Mithin gilt

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Teilbarkeitsbeweis (Lösung 3)
von Irmgard Geil, Neuenhagen (WIFO 8/1983, S. 321)
Es ist 133 = 7 · 19.

1. Es ist 11 ≡ 4 (mod 7) und 12 ≡ 5 (mod 7). Daraus folgt

wegen 4² ≡ 2 (mod 7) und 5 ≡ (- 2) (mod 7), 5² ≡ 4 (mod 7).

2. Es ist 11 ≡ (- 8) (mod 19) und 12 ≡ (- 7) (mod 19). Daraus folgt
Da 7 und 19 teilerfremd sind und 7 · 19 = 133 ist, folgt aus 1. und 2., dass
133 ⁄ T_n für alle n ∈ N.
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Teilbarkeitsbeweis (Lösung 4)
von Erwin Huth, Schulpforte (WIFO 8/1983, S. 321)
Eine Umformung von T_n ergibt
Da 144ⁿ - 11ⁿ für alle natürlichen Zahlen n durch 144 - 11 = 133 teilbar ist, ist auch T_n stets durch 133 ohne Rest teilbar (es ist 11² + 12 = 133).
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Teilbarkeitsbeweis (Lösung 5)
von Dr. Johannes Gäbler, Radebeul (WIFO 8/1983, S. 321)
Die Behauptung gilt allgemein für zwei benachbarte Zahlen a und a + 1 und den Teiler (a + 1)² - a. Wir setzen 11 = a, 12 = a + 1, 133 = (a + 1)² - a = a² + a + 1. Führt man die Division
aus, so stellt man fest, dass sie ohne Rest aufgeht und das Ergebnis
liefert.
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Teilbarkeitsbeweis (Lösung 6)
von Dr. Christian Wohlfarth, Merseburg (WIFO 8/1983, S. 321)
Es ist

Die Teilbarkeit durch 133 wird also durch die Summe 12^{2n + 4} + 12^{2n + 1} entschieden. Nun ist
für jedes n ∈ N durch 133 teilbar. Mithin ist T_n ≡ 0 (mod 133).
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