Hohe Sechserpotenz (Lösung) von Dr. R. Mildner (Lösung nur im Internet veröffentlicht unter http://www.spektrum.de/spektrum/download/Knobloes.pdf) Wegen 6k = 2k·3k bestimmen wir zunächst die höchste Zweierpotenz 2 k2 bzw. Dreierpotenz 3 k3, die in 2004! = 1·2·3 ... ·2004 aufgeht. Unser gesuchtes k ist dann das Minimum der beiden Exponenten, also k = min (k2, k3). Es gilt nun allgemein: Wenn p eine Primzahl und n eine natürliche Zahl ist, dann sind von den n Faktoren 1, 2, 3, ..., n von n! genau [n / pm] Faktoren durch pm teilbar. Somit ist der höchste Exponent k mit der Eigenschaft, dass n! durch pk teilbar ist, Dabei bezeichne [a] den ganzzahligen Teil der nichtnegativen reellen Zahl a, und s ist die größtmögliche natürliche Zahl, für die ps ≤ n gilt. Für n = 2004 und p = 2 gilt s = 10, denn 210 = 1024 ≤ 2004, aber 211 = 2048 > 2004, und damit Für n = 2004 und p = 3 gilt s = 6, denn 36 = 729 ≤ 2004, aber 37 = 2187 > 2004, und damit Damit ist k = min (k2, k3) = 998. Es ist also 6998 die höchste Sechserpotenz, die in 2004! aufgeht. Aufgabe / Menue / Home